python 解决微分方程的操作(数值解法)
Python求解微分方程（数值解法）
对于一些微分方程来说，数值解法对于求解具有很好的帮助，因为难以求得其原方程。
比如方程：
但是我们知道了它的初始条件，这对于我们叠代求解很有帮助，也是必须的。
那么现在我们也用Python去解决这一些问题，一般的数值解法有欧拉法、隐式梯形法等，我们也来看看这些算法对叠代的精度有什么区别？
```python```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeintfrom matplotlib import pyplot as pltimport os#先从odeint函数直接求解微分方程#创建欧拉法的类class Euler: #构造方法，当创建对象的时候，自动执行的函数 def __init__(self,h,y0): #将对象与对象的属性绑在一起 self.h = h self.y0 = y0 self.y = y0 self.n = 1/self.h self.x = 0 self.list = [1] #欧拉法用list列表,其x用y叠加储存 self.list2 = [1] self.y1 = y0 #改进欧拉法用list2列表，其x用y1叠加储存 self.list3 = [1] self.y2 = y0 #隐式梯形法用list3列表，其x用y2叠加储存 #欧拉法的算法，算法返回t,x def countall(self): for i in range(int(self.n)): y_dere = -20*self.list[i] #欧拉法叠加量y_dere = -20 * x y_dere2 = -20*self.list2[i] + 0.5*400*self.h*self.list2[i] #改进欧拉法叠加量 y_dere2 = -20*x(k) + 0.5*400*delta_t*x(k) y_dere3 = (1-10*self.h)*self.list3[i]/(1+10*self.h) #隐式梯形法计算 y_dere3 = (1-10*delta_t)*x(k)/(1+10*delta_t) self.y += self.h*y_dere self.y1 += self.h*y_dere2 self.y2 =y_dere3 self.list.append(float("%.10f" %self.y)) self.list2.append(float("%.10f"%self.y1)) self.list3.append(float("%.10f"%self.y2)) return np.linspace(0,1,int(self.n+1)), self.list,self.list2,self.list3step = input("请输入你需要求解的步长:")step = float(step)work1 = Euler(step,1)ax1,ay1,ay2,ay3 = work1.countall()#画图工具pltplt.figure(1)plt.subplot(1,3,1)plt.plot(ax1,ay1,’s-.’,MarkerFaceColor = ’g’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’欧拉法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.subplot(1,3,2)plt.plot(ax1,ay2,’s-.’,MarkerFaceColor = ’r’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’改进欧拉法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.subplot(1,3,3)plt.plot(ax1,ay3,’s-.’,MarkerFaceColor = ’b’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’隐式梯形法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.figure(2)plt.plot(ax1,ay1,ax1,ay2,ax1,ay3,’s-.’,MarkerSize = 3)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’三合一图像步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)ax = plt.gca()ax.legend((’$Eular$’,’$fixed Eular$’,’$trapezoid$’),loc = ’lower right’,title = ’legend’)plt.show()os.system("pause")
对于欧拉法，它的叠代方法是：
改进欧拉法的叠代方法：
隐式梯形法：
对于不同的步长，其求解的精度也会有很大的不同，我先放一几张结果图：
补充：基于python的微分方程数值解法求解电路模型
安装环境包
安装numpy（用于调节range） 和 matplotlib（用于绘图）
在命令行输入
pip install numpy pip install matplotlib
电路模型和微分方程
模型1无损害，电容电压为5V，电容为0.01F，电感为0.01H的并联谐振电路
电路模型1
微分方程1
微分方程2
模型2
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt L = 0.01 #电容的值 FC = 0.01 #电感的值 LR = 0.1 #电阻值u_0 = 5 #电容的初始电压u_dot_0 = 0 def equition(u,u_dot):#二阶方程 u_double_dot =(-R*C*u_dot -u)/(L*C) return u_double_dot def draw_plot(time_step,time_scale):#时间步长和范围 u = u_0 u_dot = u_dot_0 #初始电压和电压的一阶导数 time_list = [0] #时间lis Votage = [u] #电压list plt.figure() for time in np.arange(0,time_scale,time_step):#使用欧拉数值计算法 一阶近似 u_double_dot = equition(u,u_dot) #二阶导数 u_dot = u_dot + u_double_dot*time_step #一阶导数 u = u + u_dot*time_step #电压 time_list.append(time) #结果添加 Votage.append(u) #结果添加 print(u) plt.plot(time_list,Votage,"b-",linewidth=1) #画图 plt.show() plt.savefig("result.png") if __name__ == ’__main__’: draw_plot(0.0001,1)数值解结果
模型1
纵轴为电容两端电压，横轴为时间与公式计算一致
模型2结果
为电容两端电压，横轴为时间标题
最后我们可以根据调节电阻到达不同的状态
R=0.01，欠阻尼
R=1.7,临界阻尼
R=100,过阻尼
以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持ABC学习网。
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